Diseñando una guitarra con SAP2000

INTRO

En este post vamos a explorar las muchas posibilidades que ofrece el programa de análisis de estructuras (SAP2000) más allá de lo que es estrictamente el cálculo de grandes construcciones (puentes o edificios). En este caso abordaremos el estudio de algo tan pequeño y bello como es la vibración de las cuerdas de una guitarra. Ello nos permitirá incluso servir de base para entender e incluso diseñar nuestra propia guitarra.

ANÁLISIS DEL FENOMENO

Intuitivamente se entiende que una cuerda elástica en tensión vibra libremente bajo su propio peso tras ser golpeada. Dicha vibración genera un sonido (ondas de choque) cuyo registro se corresponde con el ritmo  vibración de la cuerda. Cuanto más tensionada esté la cuerda, mayor será su frecuencia de vibración (el número de veces que oscila por segundo) y por tanto más agudo será el sonido. De la misma forma, a igualdad de tensión, cuanto más reducida sea la longitud de la cuerda, mayor será nuevamente la frecuencia, emitiéndose por tanto un sonido más agudo.

CARACTERÍSTICAS DEL MODELO Y DATOS PRINCIPALES

Para ponerle números a este fenómeno, se ha confeccionado con SAP2000 el modelo analítico de una cuerda de guitarra eléctrica (la cuerda nº1, las más aguda). En principio el modelo parece sencillo, al tratarse de un único elemento recto de sección constante, el cual se encuentra (a efectos prácticos) totalmente empotrado en ambos extremos. No obstante, hemos de tener en cuenta que dado la frecuencia de vibración parece depender de la fuerza axial de la cuerda (según hemos señalado antes), se trata de un caso donde es especialmente importante tener en cuenta la geometría deformada de la cuerda en el análisis (cálculo con no linealidad geométrica).

Para confeccionar el modelo, he recabado de Internet los datos geométricos y mecánicos que necesito, a saber:

- Longitud total libre de la cuerda (distancia entre el puente y la cejilla): Unos 650 mm

- Diámetro de la cuerda: Existen varios diámetros, en función del tipo de cuerda. Un valor habitual para la cuerda nº 1 es de 0.28 mm, tal y como se recoge en la siguiente tabla. El área será por tanto 0.0616 mm2

- Peso especifico y módulo de deformación del material: Al tratarse de cuerdas de acero, se toma un peso específico de 77 kN/m2, y un módulo de deformación de E=200.000 MPa.

- Tensión de trabajo de la cuerda:  He visto que para la cuerda nº1, y según el diámetro considerado, la fuerza total a la que debe estar sometida (la que se introduce durante la afinación) es de unos 86 N. Esto hace que la tensión de trabajo de la cuerda sea de casi 1400 MPa. Encontramos por tanto la bonita coincidencia de que la cuerda nº1 de una guitarra trabaja a unos niveles de tensión muy similares a los de los cables de pretensado de los puentes.

Con ello, se confecciona modelo de cálculo, que tiene la pinta que aparece a continuación:

La discretización del modelo se realiza automáticamente por el programa en tramos comprendidos entre 5 y 10 mm.

Con este modelo voy a tratar de estudiar los modos principales de vibración de la cuerda bajo su propio peso, teniendo en cuenta la influencia de una fuerza constante de tracción.

RESULTADOS OBTENIDOS

Tras resolver el modelo, se obtiene ya el primer resultado interesante cuya validez se puede contrastar: El primer periodo de vibración de la cuerda es T=0.00306 seg, lo que implica una frecuencia (1/T) de f=327 Hz.

La cuerda que he modelizado (cuerda n 1 al aire) debería vibrar a la frecuencia correspondiente a la nota Mi (E) en la octava 3. La frecuencia tipificada de las notas musicales se recoge en la siguiente tabla:

Se puede observar por tanto que la frecuencia para la citada nota (Mi_3) es 329.64 Hz, muy similar al valor obtenido en el modelo (327 Hz), con una diferencia de menos de un 1%. No se ha obtenido el valor exacto, dado que la fuerza de tracción introducida (86 N) no se corresponde exactamente con las características establecidas para la cuerda (en otras palabras, la cuerda estaría ligerísimamente desafinada).

El segundo modo de vibración de la cuerda tiene una frecuencia de 654 Hz (T=0.00153 seg), que corresponde muy aproximadamente con la nota Mi_4. Por la forma del modo (con amplitud nula de vibración en el centro de la cuerda), y por la frecuencia obtenida, se puede ver claramente que se trata del primer armónico que se puede escuchar en cualquier guitarra poniendo el dedo sobre el traste nº12 (situado en la mitad) mientras vibra la cuerda.

Otro aspecto que se puede analizar es la forma en que se incrementa la frecuencia de vibración principal de la cuerda (1er modo) conforme se reduce la longitud de la misma. En una guitarra, presionar la cuerda sobre un traste es precisamente la forma de reducir la longitud de vibración de la misma, y por tanto modificar el registro de la nota producida. Conociendo la ley que relaciona la longitud de la cuerda con la frecuencia de vibración, podríamos llegar a conocer las posiciones exactas de los diferentes trastes en el mástil de una guitarra, teniendo en cuenta la nota que se espera al pisar cada uno de ellos.

Para obtener la citada ley, he calculado la frecuencia propia de vibración del primer modo, para un rango de longitudes que varían desde los 650 mm hasta los 180 mm, en intervalos de 10 mm. Los resultados obtenidos se resumen en la siguiente tabla:

Gráficamente queda de la siguiente forma:

Cada traste de la guitarra produce una nota musical medio tono superior a la del traste anterior. Partiendo de la nota Mi_3 (329.64 Hz), podemos introducir en el eje de ordenadas, y a modo de líneas horizontales, la frecuencia de las 22 notas siguientes, hasta llegar a la nota  Re_5 (1174.72 Hz), que es normalmente la mas aguda que se puede producir con los trastes de una guitarra eléctrica clásica (una Strato por ejemplo). La intersección de esas líneas horizontales con la curva obtenida anteriormente, nos tendría que dar las distancias a la que deben situarse los diferentes trastes en el mástil de una guitarra.

En el siguiente gráfico se observan las distancias de los trastes obtenidas según lo indicado en el párrafo anterior. Para comprobar la validez de los resultados, se ha introducido la foto (escalada al gráfico) del mástil de una Fender Stratocaster.

Puede observarse que efectivamente las posiciones reales a las que se sitúan los trastes coinciden con las obtenidas en la gráfica realizada.

Gracias por su interés.